Homogeno električno polje se stvara ravnomjerno. Jedinstveno električno polje. Polje dvije ravnomjerno nabijene ravni

Beskonačna ravan nabijena površinskom gustinom naboja: da bismo izračunali jačinu električnog polja koju stvara beskonačna ravan, biramo cilindar u prostoru čija je os okomita na nabijenu ravninu, a baze su joj paralelne, a jedna baza prolazi kroz polje koje nas zanima. Prema Gaussovoj teoremi, tok vektora jakosti električnog polja kroz zatvorenu površinu jednak je:

F=, s druge strane je i: F=E

Izjednačimo desne strane jednadžbe:

Izrazimo = - kroz površinsku gustinu naboja i pronađemo jačinu električnog polja:

Nađimo jačinu električnog polja između suprotno nabijenih ploča s istom površinskom gustinom:

(3)

Nađimo polje izvan ploča:

; ; (4)

Jačina polja nabijene sfere

(1)

F= (2) Gausova tačka

za r< R

; , jer (nema naelektrisanja unutar sfere)

Za r = R

( ; ; )

Za r > R

Jačina polja koju stvara kugla koja je nabijena jednoliko po svom volumenu

Zapreminska gustina naboja,

raspoređeno preko lopte:

Za r< R

( ; F= )

Za r = R

Za r > R

RAD ELEKTROSTATIČKOG POLJA ZA POKRETANJE NABAVKA

Elektrostatičko polje- email polje stacionarnog naboja.
Fel, djelujući na naboj, pokreće ga, obavljajući rad.
U jednoličnom električnom polju Fel = qE je konstantna vrijednost

Radno polje (el. sila) ne zavisi na oblik putanje i na zatvorenu putanju = nula.

Ako se u elektrostatičkom polju tačkastog naelektrisanja Q drugo tačkasto naelektrisanje Q 0 kreće od tačke 1 do tačke 2 duž bilo koje putanje (slika 1), tada sila koja se primenjuje na naelektrisanje vrši neki posao. Rad koji izvrši sila F na elementarnom pomaku dl jednak je Budući da je d l/cosα=dr, onda

Rad pri kretanju naboja Q 0 od tačke 1 do tačke 2 (1) ne zavisi od putanje kretanja, već je određen samo pozicijama početne 1 i krajnje 2 tačke. To znači da je elektrostatičko polje tačkastog naboja potencijalno, a elektrostatičke sile konzervativne Iz formule (1) je jasno da se rad koji se vrši kada se električni naboj kreće u vanjskom elektrostatičkom polju duž proizvoljnog zatvorenog puta L. jednaka je nuli, tj. (2) Ako uzmemo pozitivan naboj u jednoj tački kao naboj koji se kreće u elektrostatičkom polju, tada je elementarni rad sila polja duž putanje dl jednak Edl = E l d l, gdje je E l= Ecosα - projekcija vektora E na smjer elementarnog pomaka. Tada se formula (2) može predstaviti kao

(3) Integral

naziva se cirkulacija vektora napetosti. To znači da je cirkulacija vektora jačine elektrostatičkog polja duž bilo koje zatvorene konture jednaka nuli. Polje sile koje ima svojstvo (3) naziva se potencijal. Iz činjenice da je cirkulacija vektora E jednaka nuli, slijedi da linije elektrostatičkog polja ne mogu biti zatvorene, one nužno počinju i završavaju se na nabojima (pozitivnim ili negativnim) ili idu u beskonačnost. Formula (3) vrijedi samo za elektrostatičko polje. Naknadno će se pokazati da u slučaju polja pokretnih naelektrisanja uslov (3) nije tačan (za njega je cirkulacija vektora intenziteta različita od nule).

Teorema cirkulacije za elektrostatičko polje.

Budući da je elektrostatičko polje centralno, sile koje djeluju na naboj u takvom polju su konzervativne. Budući da predstavlja elementarni rad koji sile polja proizvode na jediničnom naboju, rad konzervativnih sila na zatvorenoj petlji jednak je

Potencijal

Sistem "naelektrisanje - elektrostatičko polje" ili "naelektrisanje - naelektrisanje" ima potencijalnu energiju, kao što sistem "gravitaciono polje - telo" ima potencijalnu energiju.

Fizička skalarna veličina koja karakterizira energetsko stanje polja naziva se potencijal datu tačku u polju. Naboj q se nalazi u polju, ima potencijalnu energiju W. Potencijal je karakteristika elektrostatičkog polja.

Prisjetimo se potencijalne energije u mehanici. Potencijalna energija je nula kada je tijelo na tlu. A kada se tijelo podigne na određenu visinu, kaže se da tijelo ima potencijalnu energiju.

Što se tiče potencijalne energije u električnoj energiji, ne postoji nulti nivo potencijalne energije. Bira se nasumično. Dakle, potencijal je relativna fizička veličina.

Energija potencijalnog polja je rad koji vrši elektrostatička sila pri pomicanju naelektrisanja iz date tačke u polju do tačke sa nultim potencijalom.

Razmotrimo poseban slučaj kada elektrostatičko polje stvara električni naboj Q. Da bismo proučavali potencijal takvog polja, nema potrebe da se u njega uvede naboj q. Možete izračunati potencijal bilo koje tačke u takvom polju koje se nalazi na udaljenosti r od naboja Q.

Dielektrična konstanta medija ima poznatu vrijednost (tabelarno) i karakterizira medij u kojem postoji polje. Za vazduh je jednako jedinici.

Razlika potencijala

Rad koji izvrši polje da pomjeri naboj iz jedne tačke u drugu naziva se razlika potencijala

Ova formula se može predstaviti u drugom obliku

Princip superpozicije

Potencijal polja stvorenog od nekoliko naboja jednak je algebarskom (uzimajući u obzir predznak potencijala) sumi potencijala polja svakog polja posebno

Ovo je energija sistema stacionarnih tačkastih naelektrisanja, energija usamljenog naelektrisanog provodnika i energija naelektrisanog kondenzatora.

Ako postoji sistem od dva nabijena provodnika (kondenzator), onda je ukupna energija sistema jednaka zbroju vlastitih potencijalnih energija vodiča i energije njihove interakcije:

Energija elektrostatičkog polja sistem tačkastih naboja je jednak:

Uniformno napunjen avion.
Jačina električnog polja koju stvara beskonačna ravan nabijena površinskom gustinom naboja može se izračunati korištenjem Gaussove teoreme.

Iz uslova simetrije sledi da je vektor E svuda okomito na ravan. Osim toga, u tačkama simetričnim u odnosu na ravan, vektor E bit će iste veličine i suprotnog smjera.
Kao zatvorenu površinu biramo cilindar čija je osa okomita na ravan, a čije su osnove simetrično smještene u odnosu na ravan, kao što je prikazano na slici.
Budući da su linije napetosti paralelne sa generatricijama bočne površine cilindra, protok kroz bočnu površinu je nula. Stoga vektorski tok E kroz površinu cilindra

gdje je površina osnove cilindra. Cilindar odsijeca naboj iz aviona. Ako je ravan u homogenom izotropnom mediju sa relativnom dielektričnom konstantom, onda

Kada jačina polja ne zavisi od udaljenosti između ravnina, takvo polje se naziva jednolično. Graf zavisnosti E (x) za avion.

Razlika potencijala između dvije tačke koje se nalaze na udaljenostima R 1 i R 2 iz nabijene ravni je jednako

Primjer 2. Dvije ravnomjerno nabijene ravni.
Izračunajmo jačinu električnog polja koju stvaraju dvije beskonačne ravni. Električni naboj je ravnomjerno raspoređen s površinskim gustoćama i . Jačinu polja nalazimo kao superpoziciju jačina polja svake od ravni. Električno polje je različito od nule samo u prostoru između ravnina i jednako je .

Razlika potencijala između aviona , Gdje d- rastojanje između aviona.
Dobiveni rezultati se mogu koristiti za približan proračun polja koje stvaraju ravne ploče konačnih dimenzija ako su udaljenosti između njih mnogo manje od njihovih linearnih dimenzija. Primjetne greške u takvim proračunima pojavljuju se kada se razmatraju polja blizu rubova ploča. Graf zavisnosti E (x) za dva aviona.

Primjer 3. Tanka nabijena šipka.
Da bismo izračunali jačinu električnog polja koju stvara veoma dugačak štap nabijen linearnom gustinom naelektrisanja, koristimo Gaussov teorem.
Na dovoljno velikim udaljenostima od krajeva štapa, linije intenziteta električnog polja su usmjerene radijalno od ose štapa i leže u ravninama okomitim na ovu os. U svim točkama jednako udaljenim od ose štapa, numeričke vrijednosti napetosti su iste ako je štap u homogenom izotropnom mediju s relativnim dielektrikom
propusnost

Za izračunavanje jačine polja u proizvoljnoj tački koja se nalazi na udaljenosti r od ose štapa povucite cilindričnu površinu kroz ovu tačku
(vidi sliku). Radijus ovog cilindra je r, i njegovu visinu h.
Tokovi vektora napetosti kroz gornju i donju bazu cilindra bit će jednaki nuli, jer linije sile nemaju komponente normalne na površine ovih baza. Na svim točkama na bočnoj površini cilindra
E= konst.
Dakle, ukupni protok vektora E kroz površinu cilindra će biti jednaka

Prema Gaussovoj teoremi, fluks vektora E jednak algebarskom zbiru električnih naboja koji se nalaze unutar površine (u ovom slučaju, cilindra) podijeljen umnoškom električne konstante i relativne dielektrične konstante medija

gdje je naboj onog dijela štapa koji se nalazi unutar cilindra. Dakle, jačina električnog polja

Razlika potencijala električnog polja između dvije tačke koje se nalaze na udaljenostima R 1 i R 2 od ose štapa, nalazimo koristeći odnos između intenziteta i potencijala električnog polja. Budući da se jačina polja mijenja samo u radijalnom smjeru, onda

Primjer 4. Nabijena sferna površina.
Električno polje koje stvara sferna površina preko koje je jednoliko raspoređen električni naboj površinske gustoće ima centralno simetričan karakter.

Zatezne linije su usmjerene duž polumjera od centra sfere i veličine vektora E zavisi samo od udaljenosti r od centra sfere. Za izračunavanje polja biramo zatvorenu sfernu površinu polumjera r.
Kada r o E = 0.
Jačina polja je nula, pošto unutar sfere nema naelektrisanja.
Za r > R (izvan sfere), prema Gaussovoj teoremi

gdje je relativna dielektrična konstanta medija koji okružuje sferu.

Intenzitet se smanjuje po istom zakonu kao i jačina polja tačkastog naboja, odnosno po zakonu.
Kada r o .
Za r > R (izvan sfere) .
Graf zavisnosti E (r) za sferu.

Primjer 5. Volumensko nabijena dielektrična kugla.
Ako lopta ima radijus R napravljen od homogenog izotropnog dielektrika sa relativnom propusnošću je jednoliko nabijen po cijelom volumenu s gustinom , tada je električno polje koje stvara također centralno simetrično.
Kao iu prethodnom slučaju, biramo zatvorenu površinu za izračunavanje vektorskog fluksa E u obliku koncentrične sfere, čiji poluprečnik r može varirati od 0 do .
At r < R vektorski tok E kroz ovu površinu će biti određen nabojom

Dakle

At r < R(unutar lopte) .
Unutar lopte, napetost raste direktno proporcionalno udaljenosti od centra lopte. Izvan lopte (u r > R) u mediju sa dielektričnom konstantom , vektor fluksa E kroz površinu će biti određen nabojom.
Kada je r o >R o (izvan lopte) .
Na granici "loptica - okolina" jakost električnog polja se naglo mijenja, čija veličina ovisi o odnosu dielektričnih konstanti lopte i okoline. Graf zavisnosti E (r) za loptu ().

Izvan lopte ( r > R) potencijal električnog polja se mijenja u skladu sa zakonom

Unutar lopte ( r < R) potencijal je opisan izrazom

U zaključku dajemo izraze za izračunavanje jačine polja naelektrisanih tela različitih oblika

Razlika potencijala

Voltage- razlika u vrijednostima potencijala na početnoj i krajnjoj tački putanje. Voltage je numerički jednak radu elektrostatičkog polja kada se jedinični pozitivni naboj kreće duž linija sile ovog polja. Razlika potencijala (napon) je nezavisna od odabira koordinatni sistemi!
Jedinica razlike potencijala Napon je 1 V ako pri kretanju pozitivnog naboja od 1 C duž linija sile, polje izvrši rad od 1 J.

Dirigent- ovo je čvrsto tijelo u kojem se nalaze "slobodni elektroni" koji se kreću unutar tijela.

Metalni provodnici su općenito neutralni: sadrže jednake količine negativnih i pozitivnih naboja. Pozitivno nabijeni su ioni u čvorovima kristalne rešetke, negativni su elektroni koji se slobodno kreću duž provodnika. Kada se vodiču da prekomjerna količina elektrona, on postaje negativno nabijen, ali ako se iz provodnika „uzme” određeni broj elektrona, on postaje pozitivno nabijen.

Višak naboja se distribuira samo po vanjskoj površini provodnika.

1 . Jačina polja u bilo kojoj tački unutar provodnika je nula.

2 . Vektor na površini provodnika je usmjeren normalno na svaku tačku na površini provodnika.

Iz činjenice da je površina provodnika ekvipotencijalna slijedi da je direktno na ovoj površini polje usmjereno normalno na nju u svakoj tački (uvjet 2 ). Da to nije tako, tada bi se pod djelovanjem tangencijalne komponente naboji počeli kretati duž površine vodiča. one. ravnoteža naelektrisanja na provodniku bila bi nemoguća.

Od 1 sledi da pošto

Unutar provodnika nema viška naelektrisanja.

Naelektrisanja se distribuiraju samo na površini vodiča određene gustine s i nalaze se u vrlo tankom površinskom sloju (debljina mu je oko jedne ili dvije međuatomske udaljenosti).

Gustina naboja- ovo je količina naboja po jedinici dužine, površine ili zapremine, čime se određuju linearne, površinske i volumetrijske gustine naelektrisanja, koje se mere u SI sistemu: u kulonima po metru [C/m], u kulonima po kvadratnom metru [ C/m²] iu kulonima po kubnom metru [C/m³], respektivno. Za razliku od gustoće materije, gustoća naboja može imati i pozitivne i negativne vrijednosti, to je zbog činjenice da postoje pozitivni i negativni naboji.

Opšti problem elektrostatike

vektor napetosti,

po Gaussovoj teoremi

- Poissonova jednačina.

U slučaju da između provodnika nema naelektrisanja, dobijamo

- Laplaceova jednadžba.

Neka su poznati granični uslovi na površinama provodnika: vrednosti ; onda ovaj problem ima jedinstveno rješenje prema teorema jedinstvenosti.

Prilikom rješavanja zadatka određuje se vrijednost, a zatim se polje između provodnika određuje raspodjelom naelektrisanja na provodnicima (prema vektoru napona na površini).

Pogledajmo primjer. Nađimo napon u praznoj šupljini provodnika.

Potencijal u šupljini zadovoljava Laplaceovu jednačinu;

potencijala na zidovima provodnika.

Rješenje Laplaceove jednadžbe u ovom slučaju je trivijalno, a prema teoremi jedinstvenosti nema drugih rješenja

, tj. nema polja u šupljini provodnika.

Poissonova jednadžba je eliptična parcijalna diferencijalna jednadžba koja, između ostalog, opisuje

· elektrostatičko polje,

· stacionarno temperaturno polje,

· polje pritiska,

· potencijalno polje brzine u hidrodinamici.

Ime je dobio po poznatom francuskom fizičaru i matematičaru Simeonu Denisu Poissonu.

Ova jednačina izgleda ovako:

gdje je Laplasov operator ili Laplasov, i realna ili kompleksna funkcija na nekoj mnogostrukosti.

U trodimenzionalnom kartezijanskom koordinatnom sistemu, jednačina ima oblik:

U kartezijanskom koordinatnom sistemu, Laplaceov operator je napisan u obliku, a Poissonova jednačina ima oblik:

Ako f teži nuli, tada se Poissonova jednačina pretvara u Laplaceovu jednačinu (Laplaceova jednačina je poseban slučaj Poissonove jednačine):

Poissonova jednadžba se može riješiti korištenjem Greenove funkcije; pogledajte, na primjer, članak Screened Poissonova jednadžba. Postoje različite metode za dobijanje numeričkih rješenja. Na primjer, koristi se iterativni algoritam - "metoda opuštanja".

Razmatraćemo usamljeni provodnik, odnosno provodnik koji je značajno udaljen od drugih provodnika, tela i naelektrisanja. Njegov potencijal, kao što je poznato, direktno je proporcionalan naboju provodnika. Iz iskustva je poznato da različiti provodnici, iako jednako nabijeni, imaju različite potencijale. Stoga, za usamljeni provodnik možemo napisati Količina (1) se naziva električni kapacitet (ili jednostavno kapacitivnost) usamljenog vodiča. Kapacitet izolovanog vodiča je određen naelektrisanjem, čija komunikacija sa vodičem menja njegov potencijal za jedan. Kapacitet usamljenog vodiča ovisi o njegovoj veličini i obliku, ali ne ovisi o materijalu, obliku i veličini šupljina unutar provodnika, kao ni o njegovom agregacijskom stanju. Razlog tome je što se višak naelektrisanja raspoređuje po vanjskoj površini provodnika. Kapacitet također ne ovisi o naboju vodiča ili njegovom potencijalu. Jedinica električnog kapaciteta je farad (F): 1 F je kapacitet izolovanog vodiča čiji se potencijal mijenja za 1 V kada mu se dodijeli naboj od 1 C. Prema formuli za potencijal tačkastog naboja, potencijal usamljene lopte poluprečnika R, koja se nalazi u homogenom mediju sa dielektričnom konstantom ε, jednak je Primjenom formule (1), dobijamo da je kapacitet lopta (2) Iz ovoga proizilazi da bi usamljena lopta imala kapacitet od 1 F, koja se nalazi u vakuumu i poluprečnika R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, što je otprilike 1400 puta veće od poluprečnik Zemlje (električni kapacitet Zemlje C≈0,7 mF). Prema tome, farad je prilično velika vrijednost, pa se u praksi koriste višestruke jedinice - milifarad (mF), mikrofarad (μF), nanofarad (nF), pikofarad (pF). Iz formule (2) također slijedi da je jedinica električne konstante ε 0 farad po metru (F/m) (vidi (78.3)).

Kondenzator(od lat. condensare- "kompaktna", "zadebljana") - mreža s dva terminala s određenom vrijednošću kapacitivnosti i niskom omskom provodljivošću; uređaj za akumuliranje naboja i energije električnog polja. Kondenzator je pasivna elektronska komponenta. Obično se sastoji od dvije elektrode u obliku ploče (tzv obloge), odvojeni dielektrikom čija je debljina mala u odnosu na veličinu ploča.

Kapacitet

Glavna karakteristika kondenzatora je njegova kapacitet, karakterizirajući sposobnost kondenzatora da akumulira električni naboj. Oznaka kondenzatora označava vrijednost nazivne kapacitivnosti, dok stvarna kapacitivnost može značajno varirati ovisno o mnogim faktorima. Stvarni kapacitet kondenzatora određuje njegova električna svojstva. Dakle, prema definiciji kapacitivnosti, naboj na ploči je proporcionalan naponu između ploča ( q = CU). Tipične vrijednosti kapacitivnosti kreću se od jedinica pikofarada do hiljada mikrofarada. Međutim, postoje kondenzatori (ionistori) kapaciteta do desetina farada.

Kapacitet paralelnog pločastog kondenzatora koji se sastoji od dvije paralelne metalne ploče s površinom S svaka se nalazi na udaljenosti d jedna od druge, u SI sistemu je izražena formulom: , gdje je relativna dielektrična konstanta medija koji ispunjava prostor između ploča (u vakuumu jednaka jedinici), je električna konstanta, numerički jednaka 8,854187817·10 −12 F/m. Ova formula vrijedi samo kada d mnogo manji od linearnih dimenzija ploča.

Da bi se dobili veliki kapaciteti, kondenzatori su povezani paralelno. U ovom slučaju, napon između ploča svih kondenzatora je isti. Ukupni kapacitet baterije paralelno spojenih kondenzatora jednak je zbiru kapacitivnosti svih kondenzatora uključenih u bateriju.

Ako svi paralelno povezani kondenzatori imaju istu udaljenost između ploča i ista dielektrična svojstva, onda se ti kondenzatori mogu predstaviti kao jedan veliki kondenzator, podijeljen na fragmente manje površine.

Kada su kondenzatori spojeni u seriju, naboji svih kondenzatora su isti, jer se iz izvora napajanja napajaju samo vanjskim elektrodama, a na unutarnjim elektrodama dobivaju se samo zbog razdvajanja naboja koji su prethodno međusobno neutralizirali. . Ukupni kapacitet baterije sekvencijalno spojenih kondenzatora je jednako

Ovaj kapacitet je uvijek manji od minimalnog kapaciteta kondenzatora uključenog u bateriju. Međutim, serijskim povezivanjem smanjuje se mogućnost kvara kondenzatora, jer svaki kondenzator čini samo dio potencijalne razlike izvora napona.

Ako je površina ploča svih kondenzatora spojenih u nizu ista, onda se ti kondenzatori mogu predstaviti kao jedan veliki kondenzator, između čijih se ploča nalazi snop dielektričnih ploča svih kondenzatora koji ga čine.

[uredi]Specifičan kapacitet

Kondenzatore karakterizira i specifična kapacitivnost - omjer kapacitivnosti i zapremine (ili mase) dielektrika. Maksimalna vrijednost specifične kapacitivnosti postiže se minimalnom debljinom dielektrika, ali se u isto vrijeme smanjuje njegov probojni napon.

Koriste se različite vrste električnih kola metode povezivanja kondenzatora. Povezivanje kondenzatora može se proizvesti: sekvencijalno, paralelno I serijski paralelni(potonji se ponekad naziva mješovitim spojem kondenzatora). Postojeći tipovi konekcija kondenzatora prikazani su na slici 1.

Slika 1. Metode povezivanja kondenzatora.

1. Intenzitet elektrostatičkog polja stvorenog od jednolično nabijene sferne površine.

Neka sferna površina poluprečnika R (slika 13.7) nosi jednoliko raspoređen naboj q, tj. površinska gustina naelektrisanja u bilo kojoj tački sfere će biti ista.

2. Elektrostatičko polje lopte.

Neka imamo kuglu poluprečnika R, jednoliko nabijenu zapreminskom gustinom.

U bilo kojoj tački A koja leži izvan lopte na udaljenosti r od njenog centra (r>R), njeno polje je slično polju tačkastog naboja koji se nalazi u centru lopte. Onda van lopte

(13.10)

i na njegovoj površini (r=R)

(13.11)

U tački B, koja leži unutar lopte na udaljenosti r od njenog centra (r>R), polje je određeno samo naelektrisanjem zatvorenom unutar kugle poluprečnika r. Tok vektora napetosti kroz ovu sferu je jednak

s druge strane, u skladu sa Gaussovom teoremom

Iz poređenja posljednjih izraza slijedi

(13.12)

gdje je dielektrična konstanta unutar lopte. Zavisnost jačine polja koju stvara naelektrisana sfera od udaljenosti do centra lopte prikazana je na (sl. 13.10)

3. Jačina polja jednoliko nabijene beskonačne pravolinijske niti (ili cilindra).

Pretpostavimo da je šuplja cilindrična površina radijusa R nabijena konstantnom linearnom gustinom.

Nacrtajmo koaksijalnu cilindričnu površinu radijusa

Po Gaussovoj teoremi

Iz posljednja dva izraza određujemo jačinu polja koju stvara jednolično nabijena nit:

(13.13)

Neka ravnina ima beskonačan opseg i naboj po jedinici površine jednak σ. Iz zakona simetrije proizilazi da je polje usmjereno svuda okomito na ravan, a ako nema drugih vanjskih naboja, onda polja na obje strane ravni moraju biti ista. Ograničimo dio nabijene ravni na zamišljenu cilindričnu kutiju, tako da je kutija presječena na pola i njeni sastojci su okomiti, a dvije baze, od kojih svaka ima površinu S, paralelne nabijenoj ravni (slika 1.10).

Ukupan vektorski protok; napetost je jednaka vektoru pomnoženom površinom S prve baze, plus fluks vektora kroz suprotnu bazu. Tok napetosti kroz bočnu površinu cilindra je nula, jer linije napetosti ih ne seku. dakle, S druge strane, prema Gaussovoj teoremi

Dakle

ali tada će jačina polja beskonačne ravnomerno nabijene ravni biti jednaka

Pokažimo mogućnosti Ostrogradsky-Gauss teoreme na nekoliko primjera.

Polje beskonačne ravnomjerno nabijene ravni

Površinska gustina naboja na proizvoljnoj ravni površine S određena je formulom:

gdje je dq naboj koncentrisan na površini dS; dS je fizički beskonačno mala površina.

Neka je σ isti u svim tačkama ravni S. S Naboj q je pozitivan. Napetost u svim tačkama će imati pravac okomit na ravan

(Sl. 2.11).

Očigledno je da će u tačkama koje su simetrične u odnosu na ravan, napetost biti jednaka po veličini i suprotnog smjera. S Zamislimo cilindar sa generatričnima okomitim na ravan i bazama Δ


	, koji se nalazi simetrično u odnosu na ravan (slika 2.12).	Rice. 2.11

Rice. 2.12

Primijenimo Ostrogradsky-Gaussovu teoremu. Tok F E kroz stranu površine cilindra jednak je nuli, jer za bazu cilindra

Ukupan protok kroz zatvorenu površinu (cilindar) bit će jednak:

;

Unutar površine postoji naelektrisanje. Prema tome, iz Ostrogradsky-Gauss teoreme dobijamo:

(2.5.1)

iz čega se vidi da je jačina polja S ravni jednaka:

Dobiveni rezultat ne ovisi o dužini cilindra. To znači da na bilo kojoj udaljenosti od aviona

Polje dvije ravnomjerno nabijene ravni

Neka su dvije beskonačne ravni nabijene suprotnim nabojima iste gustine σ (slika 2.13).

Rezultirajuće polje, kao što je gore spomenuto, nalazi se kao superpozicija polja koje stvara svaka od ravnina. Onda

(2.5.2)

unutar aviona jačina polja

Dobijeni rezultat vrijedi i za ravnine konačnih dimenzija, ako je razmak između ravni mnogo manji od linearnih dimenzija ravnina (plosnati kondenzator).

Između ploča kondenzatora postoji sila međusobnog privlačenja (po jedinici površine ploča):

gdje je S površina ploča kondenzatora. Jer , To

(2.5.5)

Ovo je formula za izračunavanje pondermotivne sile.

Polje nabijenog beskonačno dugog cilindra (navoj)

Neka polje stvara beskonačna cilindrična površina radijusa R, nabijena konstantnom linearnom gustinom, gdje je dq naelektrisanje koncentrisano na segmentu cilindra (slika 2.14).

Iz razmatranja simetrije slijedi da će E u bilo kojoj tački biti usmjereno duž polumjera, okomito na osu cilindra.

Zamislite oko cilindra (navoja) koaksijalni zatvorena površina ( cilindar u cilindru) radijus r i dužine l (osnove cilindara su okomite na osu). Za baze cilindara za bočnu površinu tj. zavisi od udaljenosti r.

Posljedično, vektorski tok kroz razmatranu površinu jednak je

Kada će biti naelektrisanja na površini Prema Ostrogradsky-Gauss teoremi, dakle

(2.5.6)

Ako, jer Unutar zatvorene površine nema naelektrisanja (slika 2.15).

Ako smanjite polumjer cilindra R (na ), tada možete dobiti polje vrlo visokog intenziteta blizu površine i, na , dobiti nit.

Polje dva koaksijalna cilindra sa istom linearnom gustinom λ, ali različitim predznacima

Neće biti polja unutar manjih i izvan većih cilindara (slika 2.16).

U razmaku između cilindara, polje se određuje na isti način kao u prethodnom slučaju:

Ovo važi i za beskonačno dug cilindar i za cilindre konačne dužine ako je razmak između cilindara mnogo manji od dužine cilindara (cilindrični kondenzator).

Polje nabijene šuplje lopte

Šuplja kugla (ili kugla) polumjera R nabijena je pozitivnim nabojem površinske gustoće σ. Polje će u ovom slučaju biti centralno simetrično - u bilo kojoj tački prolazi kroz centar lopte. , a linije sile su okomite na površinu u bilo kojoj tački. Zamislimo sferu poluprečnika r oko lopte (slika 2.17).

8. Ujednačeno nabijena beskonačna ravan stvara elektrostatičko polje. Pokažite da je ovo polje homogeno.

Neka je površinska gustina naelektrisanja s. Očigledno je da vektor E može biti samo okomit na nabijenu ravan. Osim toga, očigledno je da je u tačkama simetričnim u odnosu na ovu ravan vektor E isti po veličini i suprotnog smjera. Ova konfiguracija polja sugerira da kao zatvorenu površinu treba izabrati pravi cilindar, gdje se pretpostavlja da je s veće od nule. Protok kroz bočnu površinu ovog cilindra je nula, pa će stoga ukupan protok kroz cijelu površinu cilindra biti jednak 2*E*DS, gdje je DS površina svakog kraja. Prema Gaussovoj teoremi

gdje je s*DS naboj sadržan u cilindru.

Tačnije, ovaj izraz treba napisati na sljedeći način:

gdje je En projekcija vektora E na normalu n na nabijenu ravan, a vektor n je usmjeren iz ove ravni.

Činjenica da je E nezavisno od udaljenosti do ravni znači da je odgovarajuće električno polje uniformno.

9. Četvrtina kruga poluprečnika 56 cm je napravljena od bakarne žice. Pronađite potencijal u centru kruga.

Budući da je naboj linearno raspoređen duž žice, da bismo pronašli potencijal u centru, koristimo formulu:

Gdje je s linearna gustina naboja, dL je žičani element.

10. U električnom polju stvorenom tačkastim naelektrisanjem Q, negativni naboj -q kreće se duž linije sile od tačke koja se nalazi na udaljenosti r 1 od naelektrisanja Q do tačke koja se nalazi na udaljenosti r 2 . Nađite prirast potencijalne energije naboja -q na ovom pomaku.

Po definiciji, potencijal je veličina numerički jednaka potencijalnoj energiji jediničnog pozitivnog naboja u datoj tački polja. Prema tome, potencijalna energija naboja q 2:

11. Dva identična elementa sa emf. 1,2 V i unutrašnji otpor od 0,5 Ohma spojeni su paralelno. Rezultirajuća baterija je zatvorena na vanjski otpor od 3,5 oma. Pronađite struju u vanjskom kolu.

Prema Ohmovom zakonu za cijelo kolo, jačina struje u vanjskom kolu je:

gdje je E` emf baterije elemenata,

r` je unutrašnji otpor baterije, koji je jednak:

EMF baterije jednaka je zbiru emf tri serijski spojena elementa:

dakle:

12 Električno kolo sadrži bakarne i čelične žice jednake dužine i prečnika u seriji. Pronađite omjer količine topline oslobođene u ovim žicama.

Razmotrimo žicu dužine L i prečnika d, napravljenu od materijala otpornosti p. Otpor žice R može se naći pomoću formule

Gdje je s= površina poprečnog presjeka žice. Pri jačini struje I, tokom vremena t, količina toplote Q se oslobađa u vodiču:

U ovom slučaju, pad napona na žici je jednak:

Otpornost bakra:

p1=0,017 μOhm*m=1,7*10 -8 Ohm*m

otpornost čelika:

p2=10 -7 Ohm*m

budući da su žice povezane u seriju, jačine struje u njima su iste i za vrijeme t u njima se oslobađaju količine topline Q1 i Q2:

12. Postoji kružni kalem sa strujom u jednoličnom magnetskom polju. Ravan zavojnice je okomita na linije polja. Dokažite da su rezultantne sile koje djeluju na krug iz magnetskog polja jednake nuli.

Budući da je kružni kalem sa strujom u jednoličnom magnetskom polju, na njega djeluje amperova sila. U skladu s formulom dF=I, rezultujuća amperska sila koja djeluje na zavojnicu sa strujom određena je:

Gde se integracija vrši duž date konture sa strujom I. Pošto je magnetsko polje uniformno, vektor B se može izvaditi ispod integrala i zadatak će se svesti na izračunavanje vektorskog integrala. Ovaj integral predstavlja zatvoreni lanac elementarnih vektora dL, pa je jednak nuli. To znači F=0, odnosno rezultujuća Amperova sila je nula u uniformnom magnetnom polju.

13. Kratka zavojnica sa 90 zavoja prečnika 3 cm nosi struju. Jačina magnetskog polja stvorenog strujom na osi zavojnice na udaljenosti od 3 cm od nje je 40 A/m. Odredite struju u zavojnici.

Uzimajući u obzir da je magnetna indukcija u tački A superpozicija magnetnih indukcija stvorenih svakim okretom zavojnice posebno:

Da bismo pronašli zavoj B, koristimo Biot-Savart-Laplaceov zakon.

Gdje je dBturn magnetska indukcija polja koju stvara trenutni element IDL u tački određenoj radijus vektorom r Odaberimo element dL na kraju i povučemo radijus vektor r od njega do tačke A. Usmjerit ćemo dBturn vektor u skladu s pravilom gimleta.

Po principu superpozicije:

Gdje se integracija vrši preko svih elemenata dLturn-a. Razložimo dBturn na dvije komponente dBturn(II) - paralelno s ravninom prstena i dBturn(I) - okomito na ravan prstena. Onda

Primetivši to iz razloga simetrije i zbog toga što su vektori dBturn(I) kosmjerni, integraciju vektora zamjenjujemo skalarnom:

Gdje je dBturn(I) =dBturn*cosb i

Kako je dl okomito na r

Smanjimo za 2p i zamijenimo cosb sa R/r1

Izrazimo odavde I, znajući da je R=D/2

prema formuli koja povezuje magnetnu indukciju i jačinu magnetnog polja:

onda prema Pitagorinoj teoremi sa crteža:

14. Elektron leti u jednolično magnetsko polje u pravcu okomitom na linije sile brzinom od 10010 6 m/s i kreće se duž kružnog luka poluprečnika 2,1 cm.

Na elektron koji se kreće u jednoličnom magnetskom polju će djelovati Lorentzova sila okomita na brzinu elektrona i stoga usmjerena prema centru kruga:

Pošto je ugao između v i I 90 0:

Kako je sila Fl usmjerena prema centru kruga, a elektron se pod utjecajem te sile kreće po krugu, onda

Izrazimo magnetnu indukciju:

15. Kvadratni okvir sa stranicom 12 cm, napravljen od bakarne žice, postavljen je u magnetsko polje čija magnetna indukcija varira po zakonu B = B 0 · Sin (ωt), gdje je B 0 = 0,01 T , ω = 2 · π/ T i T=0,02 s. Ravan okvira je okomita na smjer magnetskog polja. Pronađite najveću vrijednost emf. indukcija koja se javlja u okviru.

Površina kvadratnog okvira S=a 2. Promjena magnetnog fluksa dj, kada je ravan okvira okomita dj=SdB

Određuje se indukovana emf

E će biti maksimalno pri cos(wt)=1

U jednoličnom električnom polju, sila koja djeluje na nabijenu česticu je konstantna i po veličini i po smjeru. Stoga je kretanje takve čestice potpuno slično kretanju tijela u gravitacionom polju zemlje bez uzimanja u obzir otpora zraka. Putanja čestice u ovom slučaju je ravna i leži u ravnini koja sadrži vektore početne brzine čestice i jačine električnog polja

Potencijal elektrostatičkog polja. Opšti izraz koji se odnosi na potencijal i napetost.

Potencijal φ u bilo kojoj tački elektrostatičkog polja je fizička veličina određena potencijalnom energijom jediničnog pozitivnog naboja smještenog u ovoj tački. Potencijal polja stvoren tačkastim nabojem Q jednak je

Potencijal je fizička veličina koja je određena radom obavljenim za pomicanje jediničnog pozitivnog električnog naboja kada se ukloni iz date tačke u polju u beskonačnost. Ovaj rad je numerički jednak radu vanjskih sila (nasuprot silama elektrostatičkog polja) da pomjere jedinični pozitivan naboj iz beskonačnosti do date tačke u polju.

Jedinica potencijala je volt (V): 1 V je jednako potencijalu tačke u polju u kojoj naelektrisanje od 1 C ima potencijalnu energiju od 1 J (1 V = 1 J/C). Uzimajući u obzir dimenziju volta, može se pokazati da je prethodno uvedena jedinica jačine elektrostatičkog polja zaista jednaka 1 V/m: 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C m)=1 V/m.

Iz formula (3) i (4) proizilazi da ako polje stvara više naboja, tada je potencijal datog polja sistema naboja jednak algebarskom zbiru potencijala polja svih ovih naboja:

Intenzitet u bilo kojoj tački električnog polja jednak je gradijentu potencijala u ovoj tački, uzetom sa suprotnim predznakom. Znak minus označava da je napon E usmjeren u smjeru opadanja potencijala.

E = - grad phi = - N phi.

Da bismo uspostavili vezu između karakteristike sile električnog polja - intenziteta i njegove energetske karakteristike - potencijala, razmotrimo elementarni rad sila električnog polja na beskonačno malom pomaku tačkastog naboja q: dA = q E dl, isti rad je jednako smanjenju potencijalne energije naboja q: dA = - dWp = - q dphi, gdje je dphi promjena potencijala električnog polja na dužini pomaka dl. Izjednačavajući desne strane izraza, dobijamo: E dl = -d phi ili u Dekartovom koordinatnom sistemu

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi

gdje su Ex, Ey, Ez projekcije vektora napetosti na ose koordinatnog sistema. Pošto je izraz totalni diferencijal, onda za projekcije vektora intenziteta imamo

Izraz u zagradama je gradijent potencijalnog phi.

Princip superpozicije kao osnovno svojstvo polja. Opšti izrazi za jačinu i potencijal polja stvorenog u tački sa radijus vektorom sistemom tačkastih naelektrisanja smeštenih u tačkama sa koordinatama (vidi paragraf 4)

Ako uzmemo u obzir princip superpozicije u najopćenitijem smislu, onda će prema njemu zbir utjecaja vanjskih sila koje djeluju na česticu biti zbir pojedinačnih vrijednosti svake od njih. Ovaj princip se odnosi na različite linearne sisteme, tj. sistema čije se ponašanje može opisati linearnim odnosima. Primjer bi bila jednostavna situacija u kojoj se linearni val širi u određenom mediju, u kom slučaju će njegova svojstva biti očuvana čak i pod utjecajem smetnji koje proizlaze iz samog vala. Ova svojstva su definisana kao specifičan zbir efekata svake od harmoničnih komponenti.

Princip superpozicije može uzeti i druge formulacije koje su potpuno ekvivalentne gore navedenom:

· Interakcija između dvije čestice se ne mijenja kada se uvede treća čestica, koja također stupa u interakciju s prve dvije.

· Energija interakcije svih čestica u sistemu sa više čestica je jednostavno zbir energija interakcija parova između svih mogućih parova čestica. U sistemu nema interakcija sa više čestica.

· Jednačine koje opisuju ponašanje sistema sa više čestica su linearne po broju čestica.

6 Kruženje vektora napona je rad koji obavljaju električne sile pri kretanju jednog pozitivnog naboja duž zatvorene putanje L

Pošto je rad sila elektrostatičkog polja duž zatvorene petlje jednak nuli (rad sila potencijalnog polja), stoga je cirkulacija jakosti elektrostatičkog polja duž zatvorene petlje nula.

Potencijal polja. Rad bilo kojeg elektrostatičkog polja pri kretanju nabijenog tijela u njemu iz jedne tačke u drugu također ne ovisi o obliku putanje, baš kao i rad jednoličnog polja. Na zatvorenoj putanji rad elektrostatičkog polja je uvijek nula. Polja sa ovim svojstvom nazivaju se potencijalnim. Konkretno, elektrostatičko polje tačkastog naboja ima potencijalni karakter.
Rad potencijalnog polja može se izraziti kroz promjenu potencijalne energije. Formula vrijedi za bilo koje elektrostatičko polje.

7-11Ako linije polja jednolikog električnog polja sa intenzitetom prodiru kroz određeno područje S, tada će tok vektora intenziteta (ranije smo nazivali broj linija polja kroz područje) biti određen formulom:

gdje je En proizvod vektora i normale na datu oblast (slika 2.5).

Rice. 2.5

Ukupan broj linija sile koje prolaze kroz površinu S naziva se fluks vektora intenziteta FU kroz ovu površinu.

U vektorskom obliku možemo napisati skalarni proizvod dva vektora, gdje je vector .

Dakle, vektorski fluks je skalar, koji, ovisno o vrijednosti ugla α, može biti pozitivan ili negativan.

Pogledajmo primjere prikazane na slikama 2.6 i 2.7.


	Rice. 2.6	Rice. 2.7

Za sliku 2.6, površina A1 je okružena pozitivnim nabojem i tok je ovdje usmjeren prema van, tj. Površina A2– je okružena negativnim nabojem, ovdje je usmjerena prema unutra. Ukupni tok kroz površinu A je nula.

Za sliku 2.7, fluks neće biti nula ako ukupni naboj unutar površine nije nula. Za ovu konfiguraciju, fluks kroz površinu A je negativan (izbrojite broj linija polja).

Dakle, fluks vektora napona zavisi od naboja. Ovo je značenje Ostrogradskog-Gaussove teoreme.

Gaussova teorema

Eksperimentalno utvrđeni Kulonov zakon i princip superpozicije omogućavaju da se u potpunosti opiše elektrostatičko polje datog sistema naelektrisanja u vakuumu. Međutim, svojstva elektrostatičkog polja mogu se izraziti u drugom, općenitijem obliku, bez pribjegavanja ideji Kulombovog polja točkastog naboja.

Hajde da uvedemo novu fizičku veličinu koja karakteriše električno polje – protok Φ vektora jačine električnog polja. Neka postoji neka prilično mala površina ΔS koja se nalazi u prostoru u kojem se stvara električno polje. Proizvod vektorskog modula površine ΔS i kosinusa ugla α između vektora i normale na lokaciju naziva se elementarni tok vektora intenziteta kroz lokaciju ΔS (slika 1.3.1):

Razmotrimo sada neku proizvoljnu zatvorenu površinu S. Ako ovu površinu podijelimo na male površine ΔSi, odredimo elementarne tokove ΔΦi polja kroz ove male površine, a zatim ih zbrojimo, onda kao rezultat dobijemo protok Φ polja vektor kroz zatvorenu površinu S (slika 1.3.2):

Gaussova teorema glasi:

Protok vektora jakosti elektrostatičkog polja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbiru naboja koji se nalaze unutar ove površine, podijeljen s električnom konstantom ε0.

gdje je R polumjer sfere. Tok Φ kroz sfernu površinu bit će jednak proizvodu E i površine sfere 4πR2. dakle,

Okružimo sada tačkasto naelektrisanje sa proizvoljnom zatvorenom površinom S i razmotrimo pomoćnu sferu poluprečnika R0 (slika 1.3.3).

Razmotrimo konus sa malim čvrstim uglom ΔΩ na vrhu. Ovaj konus će istaknuti malu površinu ΔS0 na sferi i površinu ΔS na površini S. Elementarni tokovi ΔΦ0 i ΔΦ kroz ove oblasti su isti. stvarno,

Na sličan način se može pokazati da ako zatvorena površina S ne pokriva tačkasti naboj q, onda je protok Φ = 0. Takav slučaj je prikazan na Sl. 1.3.2. Sve linije sile električnog polja tačkastog naelektrisanja prodiru kroz zatvorenu površinu S. Unutar površine S nema naelektrisanja, tako da se u ovoj oblasti linije polja ne prekidaju niti nastaju.

Generalizacija Gaussove teoreme na slučaj proizvoljne raspodjele naboja slijedi iz principa superpozicije. Polje bilo koje raspodjele naboja može se predstaviti kao vektorski zbir električnih polja tačkastih naboja. Protok Φ sistema naelektrisanja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S biće zbir tokova Φi električnih polja pojedinačnih naelektrisanja. Ako se naboj qi nalazi unutar površine S, onda daje doprinos protoku jednak ako je ovaj naboj izvan površine, tada će doprinos njegovog električnog polja protoku biti jednak nuli.

Dakle, Gaussova teorema je dokazana.

Gaussova teorema je posljedica Coulombovog zakona i principa superpozicije. Ali ako tvrdnju sadržanu u ovoj teoremi uzmemo kao početni aksiom, onda će njena posljedica biti Coulombov zakon. Stoga se Gaussova teorema ponekad naziva alternativnom formulacijom Coulombovog zakona.

Koristeći Gaussov teorem, u nekim slučajevima moguće je lako izračunati jačinu električnog polja oko nabijenog tijela ako data raspodjela naboja ima neku simetriju i opća struktura polja se može unaprijed pogoditi.

Primjer je problem izračunavanja polja tankostjenog, šupljeg, jednoliko nabijenog dugog cilindra polumjera R. Ovaj problem ima aksijalnu simetriju. Iz razloga simetrije, električno polje mora biti usmjereno duž radijusa. Stoga je za primjenu Gaussove teoreme preporučljivo izabrati zatvorenu površinu S u obliku koaksijalnog cilindra nekog polumjera r i dužine l, zatvorenu na oba kraja (slika 1.3.4).

Za r ≥ R, cijeli tok vektora intenziteta proći će kroz bočnu površinu cilindra, čija je površina jednaka 2πrl, jer je fluks kroz obje baze jednak nuli. Primjena Gaussove teoreme daje:

Ovaj rezultat ne zavisi od poluprečnika R nabijenog cilindra, pa se odnosi i na polje dugog ravnomerno nabijenog filamenta.

Da bi se odredila jačina polja unutar nabijenog cilindra, potrebno je konstruirati zatvorenu površinu za slučaj r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Na sličan način može se primijeniti Gaussova teorema za određivanje električnog polja u nizu drugih slučajeva kada raspodjela naelektrisanja ima neku vrstu simetrije, na primjer, simetriju oko centra, ravni ili ose. U svakom od ovih slučajeva potrebno je odabrati zatvorenu Gausovu površinu odgovarajućeg oblika. Na primjer, u slučaju centralne simetrije, zgodno je odabrati Gaussovu površinu u obliku kugle sa centrom u tački simetrije. Sa aksijalnom simetrijom, zatvorena površina mora biti odabrana u obliku koaksijalnog cilindra, zatvorenog na oba kraja (kao u primjeru o kojem se gore govori). Ako raspodjela naelektrisanja nema nikakvu simetriju i ne može se pogoditi opća struktura električnog polja, primjena Gaussove teoreme ne može pojednostaviti problem određivanja jačine polja.

Razmotrimo još jedan primjer simetrične raspodjele naboja – određivanje polja jednoliko nabijene ravni (slika 1.3.5).

U ovom slučaju, preporučljivo je odabrati Gaussovu površinu S u obliku cilindra određene dužine, zatvorene na oba kraja. Osa cilindra je usmjerena okomito na nabijenu ravninu, a njegovi krajevi se nalaze na istoj udaljenosti od nje. Zbog simetrije, polje jednoliko nabijene ravni mora biti svuda usmjereno duž normale. Primjena Gaussove teoreme daje:

gdje je σ površinska gustina naboja, tj. naboj po jedinici površine.

Rezultirajući izraz za električno polje ravnomjerno nabijene ravni je također primjenjiv u slučaju ravnih nabijenih područja konačne veličine. U ovom slučaju, udaljenost od tačke u kojoj se određuje jačina polja do nabijene površine treba biti znatno manja od veličine površine.

I rasporedi za 7-11

1. Intenzitet elektrostatičkog polja stvorenog od jednolično nabijene sferne površine.

Neka sferna površina poluprečnika R (slika 13.7) nosi jednoliko raspoređen naboj q, tj. površinska gustina naelektrisanja u bilo kojoj tački sfere će biti ista.

a. Zagradimo našu sfernu površinu u simetričnu površinu S poluprečnika r>R. Tok vektora napetosti kroz površinu S bit će jednak

Po Gaussovoj teoremi

Dakle

c. Provučemo kroz tačku B, koja se nalazi unutar nabijene sferne površine, sferu S polumjera r

2. Elektrostatičko polje lopte.

Neka imamo kuglu poluprečnika R, jednoliko nabijenu zapreminskom gustinom.

U bilo kojoj tački A koja leži izvan lopte na udaljenosti r od njenog centra (r>R), njeno polje je slično polju tačkastog naboja koji se nalazi u centru lopte. Onda van lopte

(13.10)

i na njegovoj površini (r=R)

(13.11)

s druge strane, u skladu sa Gaussovom teoremom

Po Gaussovoj teoremi

Iz posljednja dva izraza određujemo jačinu polja koju stvara jednolično nabijena nit:

(13.13)

12. Polje jednolično nabijene sfere.

Neka električno polje stvara naboj Q, jednoliko raspoređena po površini sfere poluprečnika R(Sl. 190). Za izračunavanje potencijala polja u proizvoljnoj tački koja se nalazi na udaljenosti r iz centra sfere, potrebno je izračunati rad polja pri pomeranju jediničnog pozitivnog naelektrisanja iz date tačke u beskonačnost. Prethodno smo dokazali da je jačina polja jednolično nabijene sfere izvan nje ekvivalentna polju tačkastog naboja smještenog u središtu sfere. Prema tome, izvan sfere, potencijal polja sfere će se poklopiti sa potencijalom polja tačkastog naboja

φ (r)=Q 4πε 0r . (1)

Konkretno, na površini sfere potencijal je jednak φ 0=Q 4πε 0R. Unutar sfere nema elektrostatičkog polja, tako da je rad obavljen da se naboj pomjeri iz proizvoljne tačke koja se nalazi unutar sfere na njenu površinu jednak nuli A= 0, stoga je razlika potencijala između ovih tačaka također nula Δ φ = -A= 0. Prema tome, sve tačke unutar sfere imaju isti potencijal, koji se poklapa sa potencijalom njene površine φ 0=Q 4πε 0R .

Dakle, raspodjela potencijala polja jednolično nabijene sfere ima oblik (Sl. 191)

φ (r)=⎧⎩⎨Q 4πε 0R, npu r<RQ 4πε 0r, npu r>R . (2)

Imajte na umu da unutar sfere nema polja, a potencijal je različit od nule! Ovaj primjer je jasna ilustracija činjenice da je potencijal određen vrijednošću polja od date tačke do beskonačnosti.