Postavimo brojčanu kružnicu u koordinatnu ravan tako da se centar kruga poklapa sa ishodištem koordinata, a njegov poluprečnik se uzima kao jedinica. Brojčani krug na koordinatnoj ravni 2 brojčani krug na koordinatnoj ravni

Slajd 2

Šta ćemo proučavati: Definicija. Važne koordinate brojevnog kruga. Kako pronaći koordinate brojevnog kruga? Tabela osnovnih koordinata brojevnog kruga. Primjeri zadataka.

Slajd 3

Definicija. Postavimo brojčani krug u koordinatnu ravan tako da se centar kruga poklapa sa ishodištem koordinata, a njegov poluprečnik se uzima kao jedinični segment. Početna tačka brojevnog kruga A je poravnata sa tačkom (1;0). Svaka tačka brojevnog kruga ima svoje koordinate x i y u koordinatnoj ravni, i: x > 0, y > 0 u prvoj četvrtini; x 0 u drugom kvartalu; x 0, y

Slajd 4

Važno nam je da naučimo kako pronaći koordinate tačaka na brojevnoj kružnici prikazanoj na donjoj slici:

Slajd 5

Nađimo koordinate tačke π/4: Tačka M(π/4) je sredina prve četvrtine. Spustimo okomicu MR iz tačke M na ravnu liniju OA i razmotrimo trokut OMP. u tački M apscisa i ordinata su jednake: x = y Pošto koordinate tačke M(x;y) zadovoljavaju jednačinu brojevnog kruga, onda da biste ih pronašli morate riješiti sistem jednačina: Nakon što ste riješili ovaj sistem dobijamo: Utvrdili smo da će koordinate tačke M koje odgovaraju broju π /4. Koordinate tačaka predstavljenih na prethodnom slajdu izračunavaju se na sličan način.

Slajd 6

Slajd 7

Koordinate tačaka na brojevnom krugu.

Slajd 8

Primjer Pronađite koordinatu tačke na brojevnoj kružnici: R(45π/4) Rješenje: Jer. brojevi t i t+2π k (k-cijeli broj) odgovaraju istoj tački na brojevnoj kružnici tada: 45π/4 = (10 + 5/4) π = 10π +5π/4 = 5π/4 + 2π 5 Dakle , broj 45π/4 odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj 5π/4. Gledajući vrijednost tačke 5π/4 u tabeli dobijamo:

Slajd 9

Primjer Pronađite koordinatu tačke na brojevnoj kružnici: R(-37π/3) Rješenje: Jer. brojevi t i t+2π k (k-cijeli broj) odgovaraju istoj tački na brojevnoj kružnici tada: -37π/3 = -(12 + 1/3) π = -12π –π/3 = -π/3 + 2π (-6) To znači da broj -37π/3 odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj –π/3, a broj –π/3 odgovara istoj tački kao 5π/3. Gledajući vrijednost tačke 5π/3 u tabeli dobijamo:

Slajd 10

Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom y = 1/2 i zapišite kojim brojevima t odgovaraju. Primer Prava linija y = 1/2 seče brojevnu kružnicu u tačkama M i P. Tačka M odgovara broju π/6 (iz podataka tabele), što znači i bilo koji broj oblika π/6+2π k . Tačka P odgovara broju 5π/6, a samim tim i bilo kojem broju oblika 5π/6+2 π k Dobili smo, kako se često kaže u takvim slučajevima, dva niza vrijednosti: π/6+2 π k i 5π/6+2 π k Odgovor: t= π/6+2 π k i t= 5π/6+2 π k Brojčani krug na koordinatnoj ravni.

Slajd 11

Primjer Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa apscisom x≥ i zapišite kojima brojevima t odgovaraju. Prava linija x= 1/2 seče brojevnu kružnicu u tačkama M i P. Nejednakost x ≥ odgovara tačkama luka PM. Tačka M odgovara broju 3π/4 (iz tabličnih podataka), što znači i bilo kojem broju oblika -3π/4+2π k. Tačka P odgovara broju -3π/4, a samim tim i bilo kom broju oblika – -3π/4+2 π k Tada dobijamo -3π/4+2 π k≤t≤3π/4+2 π k Odgovor : -3π/ 4+2 π k≤t≤3π/4+2 π k Brojčani krug na koordinatnoj ravni.

Slajd 12

Brojčani krug na koordinatnoj ravni.

Problemi za samostalno rješavanje. 1) Pronađite koordinate tačke na brojevnoj kružnici: P(61π/6)? 2) Pronađite koordinate tačke na brojevnoj kružnici: P(-52π/3) 3) Nađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom y = -1/2 i zapišite kojim brojevima t odgovaraju. 4) Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom y ≥-1/2 i zapišite kojim brojevima t odgovaraju. 5) Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa apscisom x≥ i zapišite kojim brojevima t odgovaraju.

Pogledajte sve slajdove

Brojnom krugu u 10. razredu posvećuje se dosta vremena. To je zbog značaja ovog matematičkog objekta za cijeli matematički predmet.

Pravilan izbor nastavnih sredstava od velike je važnosti za dobro savladavanje gradiva. Najefikasniji takvi alati uključuju video tutorijale. Nedavno su dostigli vrhunac popularnosti. Stoga autor nije zaostajao za vremenom i razvio je tako divan priručnik za pomoć nastavnicima matematike - video lekciju na temu „Brojčani krug na koordinatnoj ravnini“.

Ova lekcija traje 15:22 minuta. Ovo je praktički maksimalno vrijeme koje nastavnik može potrošiti na samostalno objašnjavanje materijala o nekoj temi. Budući da je potrebno toliko vremena za objašnjavanje novog gradiva, potrebno je odabrati najefikasnije zadatke i vježbe za konsolidaciju, te odabrati još jednu lekciju na kojoj će učenici rješavati zadatke na ovu temu.

Lekcija počinje slikom brojevnog kruga u koordinatnom sistemu. Autor gradi ovaj krug i objašnjava svoje postupke. Zatim autor imenuje tačke preseka brojevnog kruga sa koordinatnim osa. U nastavku se objašnjava koje će koordinate imati tačke kruga u različitim četvrtima.

Nakon toga, autor nas podseća kako izgleda jednačina kružnice. A slušaocima su predstavljena dva modela koji prikazuju neke tačke na krugu. Zahvaljujući tome, u sljedećem koraku autor pokazuje kako pronaći koordinate tačaka na krugu koje odgovaraju određenim brojevima označenim na šablonima. Ovo proizvodi tablicu vrijednosti za varijable x i y u jednadžbi kruga.

Zatim predlažemo da razmotrimo primjer gdje je potrebno odrediti koordinate tačaka na kružnici. Prije nego počnemo rješavati primjer, uvodi se neka napomena koja pomaže u njegovom rješavanju. A onda se na ekranu pojavljuje kompletno, jasno strukturirano i ilustrovano rešenje. Ovdje se nalaze i tabele koje olakšavaju razumijevanje suštine primjera.

Zatim se razmatra još šest primjera, koji oduzimaju manje vremena od prvog, ali ne manje važni i odražavaju glavnu ideju lekcije. Ovdje su rješenja predstavljena u potpunosti, sa detaljnom pričom i elementima jasnoće. Naime, rješenje sadrži crteže koji ilustruju napredak rješenja, te matematičku notaciju koja formira matematičku pismenost učenika.

Nastavnik se može ograničiti na primjere o kojima se govori u lekciji, ali to možda neće biti dovoljno za kvalitetno učenje gradiva. Stoga je odabir zadataka za pojačanje jednostavno izuzetno važan.

Lekcija može biti korisna ne samo za nastavnike, čije je vrijeme stalno ograničeno, već i za učenike. Posebno za one koji dobijaju porodično obrazovanje ili se bave samoobrazovanjem. Materijale mogu koristiti oni učenici koji su propustili lekciju na ovu temu.

DEKODIRANJE TEKSTA:

Tema naše lekcije je “NUMERIČKI KRUG NA KOORDINATNOJ RAVNI”

Već smo upoznati sa Dekartovim pravougaonim koordinatnim sistemom xOy (x o y). U ovom koordinatnom sistemu postavićemo brojčani krug tako da centar kruga bude poravnat sa ishodištem koordinata, a njegov poluprečnik će se uzeti kao segment razmjera.

Početna tačka A brojevnog kruga je kombinovana sa tačkom sa koordinatama (1;0), B - sa tačkom (0;1), C - sa (-1;0) (minus jedan, nula) i D - sa (0; - 1)(nula, minus jedan).

(vidi sliku 1)

Pošto svaka tačka na brojevnoj kružnici ima svoje koordinate u sistemu xOy (x o y), onda je za tačke prve četvrtine yx veće od nule, a y veće od nule;

Drugo, ikx je manji od nule, a yk veći od nule,

za tačke treće četvrtine ikx je manji od nule, a yk manji od nule,

a za četvrtu četvrtinu ikx je veći od nule, a yk manji od nule

Za bilo koju tačku E (x;y) (sa koordinatama x, y) brojevnog kruga, nejednakosti -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x je veće ili jednako minus jedan, ali manje od ili jednako jedan; y je veće ili jednako minus jedan, ali manje od ili jednako jedan).

Podsjetimo da jednačina kružnice polumjera R sa centrom u nulti ima oblik x 2 + y 2 = R 2 (x kvadrat plus y kvadrat je jednako er kvadrat). A za jediničnu kružnicu R = 1, dobijamo x 2 + y 2 = 1

(x kvadrat plus y kvadrat je jedan).

Nađimo koordinate tačaka na brojevnom krugu, koje su predstavljene na dva rasporeda (vidi slike 2, 3)

Neka tačka E, koja odgovara

(pi sa četiri) - sredina prve četvrtine prikazane na slici. Iz tačke E spuštamo okomicu EK na pravu OA i razmatramo trougao OEK. Ugao AOE =45 0, pošto je luk AE polovina luka AB. Dakle, trougao OEK je jednakokraki pravougaoni trougao, za koji je OK = EC. To znači da su apscisa i ordinata tačke E jednake, tj. x jednako igra. Da bismo pronašli koordinate tačke E, rešavamo sistem jednačina: (x je jednako yrek - prva jednačina sistema i x kvadrat plus yrek kvadrat je jedna - druga jednačina sistema). , umjesto x zamjenjujemo y, dobijamo 2y 2 = 1 (dva yyrek kvadrata su jednaka jednom), odakle je y = = (y je jednako jedan podijeljen korijenom od dva jednako je korijenu od dva podeljeno sa dva) (ordinata je pozitivna, to znači da tačka E u pravougaonom koordinatnom sistemu ima koordinate (,) (koren od dva podeljen sa dva, koren od dva podeljen sa dva).

Razmišljajući na sličan način, nalazimo koordinate za tačke koje odgovaraju drugim brojevima prvog rasporeda i dobijamo: odgovarajuća tačka je sa koordinatama (- ,) (minus koren od dva podeljen sa dva, koren od dva podeljen sa dva) ; za - (- ,-) (minus koren od dva podeljen sa dva, minus koren od dva podeljen sa dva); za (sedam pi preko četiri) (,)(koren dva podeljen sa dva, minus koren dva podeljen sa dva).

Neka tačka D odgovara (slika 5). Ispustimo okomicu iz DP(de pe) na OA i razmotrimo trougao ODP. Hipotenuza ovog trougla OD jednaka je poluprečniku jedinične kružnice, odnosno jedan, a ugao DOP jednak je trideset stepeni, pošto je luk AD = digi AB (a de je jednak jednoj trećini a be), i luk AB jednak je devedeset stepeni. Dakle, DP = (de pe je jednako jednoj polovini O de je jednako jednoj polovini) Budući da je krak koji leži nasuprot ugla od trideset stepeni jednak polovini hipotenuze, to jest, y = (y je jednako jednoj polovini) . Primjenom Pitagorine teoreme dobijamo OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe kvadrat je o de kvadrat minus de pe kvadrat), ali OR = x (o pe jednako x). To znači x 2 = OD 2 - DP 2 =

to znači x 2 = (x kvadrat je jednak tri četvrtine) i x = (x je jednako korijenu tri puta dva).

X je pozitivan, jer je u prvom kvartalu. Otkrili smo da tačka D u pravougaonom koordinatnom sistemu ima koordinate (,) koren od tri podeljene sa dva, jedna polovina.

Razmišljajući na sličan način, pronaći ćemo koordinate za točke koje odgovaraju drugim brojevima drugog rasporeda i sve dobivene podatke upisati u tablice:

Pogledajmo primjere.

PRIMJER 1. Pronađite koordinate tačaka na brojevnoj kružnici: a) C 1 ();

b) C 2 (); c) C 3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse jedan odgovara trideset pet pi sa četiri, tse dva odgovara minus četrdeset devet pi sa tri, tse tri odgovara četrdeset jednom pi, tse četiri odgovara minus dvadeset šest pi).

Rješenje. Poslužimo se prethodno dobivenom tvrdnjom: ako tačka D brojevnog kruga odgovara broju t, onda odgovara bilo kojem broju oblika t + 2πk(te plus dva vrha), gdje je ka bilo koji cijeli broj, tj. kϵZ (ka pripada z).

a) Dobijamo = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (trideset pet pi puta četiri jednako je trideset pet puta četiri, pomnoženo sa pi jednako je zbiru osam i tri četvrtine, pomnoženo sa pi jednako tri pi puta četiri plus proizvod dva pi sa četiri To znači da broj trideset pet pi sa četiri odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj tri pi sa četiri. Koristeći tabelu 1, dobijamo C 1 () = C 1 (- ;) .

b) Slično koordinatama C 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). To znači da je broj

odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj. I broj odgovara istoj tački na brojevnom krugu kao i broj

(prikaži drugi izgled i tabelu 2). Za tačku imamo x = , y =.

c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. To znači da broj 41π odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj π - ovo je tačka sa koordinatama (-1; 0).

d) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), odnosno broj - 26π odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj nula - ovo je tačka sa koordinatama (1;0).

PRIMJER 2. Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom y =

Rješenje. Prava linija y = siječe brojevnu kružnicu u dvije tačke. Jedna tačka odgovara broju, druga tačka odgovara broju,

Dakle, sve tačke dobijamo dodavanjem punog obrtaja 2πk gde k pokazuje koliko punih obrta tačka pravi, tj. dobijamo,

a za bilo koji broj svi brojevi oblika + 2πk. Često u takvim slučajevima kažu da su dobili dvije serije vrijednosti: + 2πk, + 2πk.

PRIMJER 3. Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa apscisom x = i zapišite kojima brojevima t odgovaraju.

Rješenje. Pravo X= siječe brojevnu kružnicu u dvije tačke. Jedna tačka odgovara broju (pogledajte drugi izgled),

i stoga bilo koji broj oblika + 2πk. A druga tačka odgovara broju, a time i bilo kojem broju oblika + 2πk. Ove dvije serije vrijednosti mogu se pokriti u jednom unosu: ± + 2πk (plus minus dva pi sa tri plus dva pi).

PRIMJER 4. Pronađite tačke sa ordinatom na brojevnoj kružnici at> i zapiši kojim brojevima t odgovaraju.

Prava linija y = siječe brojevnu kružnicu u dvije tačke M i P. A nejednakost y > odgovara tačkama otvorenog luka MR, to znači lukove bez krajeva (tj. bez u), kada se kreće oko kružnice u smjeru suprotnom od kazaljke na satu , počevši od tačke M i završavajući u tački P. To znači da je jezgro analitičke notacije luka MR nejednakost< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

PRIMJER5. Pronađite ordinatne tačke na brojevnom krugu at < и записать, каким числам t они соответствуют.

Prava y = siječe brojevnu kružnicu u dvije tačke M i P. I nejednakost y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

PRIMJER 6. Pronađite tačke sa apscisom na brojevnoj kružnici X> i zapiši kojim brojevima t odgovaraju.

Prava linija x = siječe brojevnu kružnicu u dvije točke M i P. Nejednakost x > odgovara tačkama otvorenog luka PM kada se kreće duž kružnice u smjeru suprotnom od kazaljke na satu s početkom u tački P, što odgovara, i krajem u tački M, što odgovara. To znači da je srž analitičke notacije PM luka nejednakost< t <

(te je veći od minus dva pi sa tri, ali manji od dva pi sa tri), a analitička notacija samog luka ima oblik + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

PRIMJER 7. Pronađite tačke sa apscisom na brojevnoj kružnici X < и записать, каким числам t они соответствуют.

Prava linija x = siječe brojevnu kružnicu u dvije tačke M i P. Nejednakost x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te je više od dva pi sa tri, ali manje od četiri pi sa tri), a analitička notacija samog luka ima oblik + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).

U ovoj lekciji ćemo razmotriti važno svojstvo brojevnog kruga i postaviti jedinični broj kruga u koordinatnu ravan prema određenim pravilima. Prisjetimo se jednadžbe kruga jediničnog broja i iskoristimo je za rješavanje nekoliko problema nalaženja koordinata točke na kružnici jediničnog broja. Na kraju lekcije sastavit ćemo tabelu koordinata za tačke koje su višekratnici π/6 i π/4.

Tema lekcije, ponavljanje

Prethodno smo proučavali brojevni krug i saznali njegove osobine (slika 1).

Svaki realan broj odgovara jednoj tački na kružnici.

Svaka tačka na brojevnom krugu odgovara ne samo broju već i svim brojevima u obliku

Brojčani krug u koordinatnoj ravni

Postavimo krug koordinatna ravan. Kao i ranije, svaki broj odgovara tački na kružnici. Sada ova tačka na kružnici odgovara dve koordinate, baš kao i svaka tačka na koordinatnoj ravni.

Naš zadatak je da pomoću zadanog broja pronađemo ne samo tačku, već i njene koordinate, i obrnuto, da pronađemo jedan ili više odgovarajućih brojeva koristeći koordinate.

Primjer 1. Zadana tačka - sredina luka Tačka odgovara brojevima oblika

Pronađite koordinate tačke (slika 3).

Koordinate se mogu pronaći na dva različita načina, pogledajmo ih redom.

1. Tačka leži na kružnici, R=1, što znači da zadovoljava jednadžbu kružnice

Prema stanju. Sjećamo se da je veličina središnjeg ugla brojčano jednaka dužini luka u radijanima, što znači ugao. To također znači da ravna linija dijeli prvu četvrtinu tačno na pola, što znači da je prava linija

Tačka leži na pravoj i stoga zadovoljava jednačinu te prave.

Kreirajmo sistem od dvije jednačine.

Nakon što smo riješili sistem, dobijamo tražene koordinate.

2. Zamislite pravougaoni (slika 4).

Dakle, postavili smo broj, pronašli tačku i njene koordinate. Odredimo i koordinate tačaka simetričnih prema njoj (slika 5).

Pronalaženje pravokutnih koordinata tačaka čije su krivolinijske koordinate višekratne

Sljedeći zadatak je odrediti koordinate tačaka koje su višestruke

Krug poluprečnika R=1 nalazi se u koordinatnoj ravni. Nađite tačku na kružnici i njene koordinate (slika 6).

Uzmite u obzir - pravokutni.

Odnosno, ugao

Nađimo koordinate simetričnih tačaka (slika 7).

Postavili smo broj, našli tačku na kružnici, ova tačka je jedina, i našli njene koordinate.

Rješavanje problema

Primjer 1. Datoj tački pronađite njene pravokutne koordinate.

Tačka je sredina treće četvrtine (Sl. 8).

Zaključak, zaključak

Postavili smo brojčani krug u koordinatnu ravan, naučili da pronađemo tačku na kružnici i njene koordinate pomoću broja. Ova tehnika je osnova za definiciju sinusa i kosinusa, o čemu će biti reči kasnije.

Reference

Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Udžbenik za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo) / ur.

A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2009. Algebra i počeci analize, 10. razred (u dva dijela). Problematika za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo) / ur.

A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike u školama i razredima sa naprednom matematikom). - M.: Obrazovanje, 1996. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Napredne studije algebre i matematičke analize. - M.: Prosvjeta, 1997. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M. I. Skanavi). - M.: Viša škola, 1992. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebarski simulator. - K.: A. S.K., 1997. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Problemi algebre i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova). - M.: Obrazovanje, 2003. Karp A.P. Zbirka zadataka o algebri i principima analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao matematike. - M.: Obrazovanje, 2006.

Matematika. ru. Problemi. ru. REŠIĆU UPOTREBU.

Domaći

Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo) / ur. A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.

Postavimo brojčani krug u koordinatnu ravan tako da se centar kruga poklapa sa ishodištem koordinata, a njegov poluprečnik se uzima kao jedinični segment. Početna tačka brojevnog kruga A je poravnata sa tačkom (1;0). Svaka tačka brojevnog kruga ima svoje koordinate x i y u koordinatnoj ravni, i: 1) x > 0, y > 0 u prvoj četvrtini; 2)x 0 u drugoj četvrtini; 3) x 0, y 0, y > 0 u prvoj četvrtini; 2)x 0 u drugoj četvrtini; 3)x 0, y

Nađimo koordinate tačke π/4: Tačka M(π/4) je sredina prve četvrtine. Ispustimo okomicu MR iz tačke M na pravu liniju OA i razmotrimo trougao OMP. u tački M apscisa i ordinata su jednake: x = y Pošto koordinate tačke M(x;y) zadovoljavaju jednačinu brojevnog kruga, onda da biste ih pronašli morate riješiti sistem jednačina: Nakon što ste riješili ovaj sistem dobijamo: Utvrdili smo da će koordinate tačke M koje odgovaraju broju π /4. Koordinate tačaka predstavljenih na prethodnom slajdu izračunavaju se na sličan način.

Naći koordinate tačke na brojevnoj kružnici: R(45π/4) Rješenje: Jer. brojevi t i t+2πk (k-cijeli broj) odgovaraju istoj tački na brojevnoj kružnici tada: 45π/4 = (10 + 5/4) π = 10π +5π/4 = 5π/4 + 2π5 Dakle, broj je 45π/ 4 odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj 5π/4. Gledajući vrijednost tačke 5π/4 u tabeli dobijamo:

Naći koordinatu tačke na brojevnoj kružnici: R(-37π/3) Rješenje: Jer. brojevi t i t+2πk (k-cijeli broj) odgovaraju istoj tački na brojevnoj kružnici tada: -37π/3 = -(12 + 1/3) π = -12π –π/3 = -π/3 + 2π( -6) To znači da broj -37π/3 odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj –π/3, a broj –π/3 odgovara istoj tački kao 5π/3. Gledajući vrijednost tačke 5π/3 u tabeli dobijamo:

Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom y = 1/2 i zapišite kojim brojevima t odgovaraju. Prava linija y = 1/2 seče brojevnu kružnicu u tačkama M i P. Tačka M odgovara broju π/6 (iz podataka tabele), što znači bilo koji broj oblika π/6 +2π k. Tačka P odgovara broju 5π/6, a samim tim i bilo kojem broju oblika 5π/6 +2 π k Dobili smo, kako se često kaže u takvim slučajevima, dva niza vrijednosti: π/6 +2 π k i 5π/6 +2 π k Odgovor: t= π/6 +2 π k i t= 5π/6 +2 π k

Pronađite tačke sa apscisom x na brojevnoj kružnici i zapišite kojim brojevima t odgovaraju. Prava linija x = 1/2 seče brojevnu kružnicu u tačkama M i P. Nejednakost x odgovara tačkama luka PM. Tačka M odgovara broju 3π/4 (iz podataka tabele), što znači bilo koji broj oblika -3π/4 +2πk. Tačka P odgovara broju -3π/4, a samim tim i bilo kom broju oblika – -3π/4 +2 π k Tada dobijamo -3π/4 +2 π k t3π/4 +2 π k Odgovor: -3π /4 +2 π k t3π/4 +2 π k

1) Pronađite koordinate tačke na brojevnoj kružnici: P(61π/6)? 2) Pronađite koordinate tačke na brojevnoj kružnici: P(-52π/3) 3) Nađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom y = -1/2 i zapišite kojim brojevima t odgovaraju. 4) Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom y -1/2 i zapišite kojim brojevima t odgovaraju. 5) Pronađite tačke sa apscisom x na brojevnoj kružnici i zapišite kojim brojevima t odgovaraju.

Lekcija i prezentacija na temu: "Brojčani krug na koordinatnoj ravni"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za 10. razred od 1C
Algebarski zadaci sa parametrima, razredi 9–11
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni građevinski zadaci za 7-10 razred

Šta ćemo proučavati:
1. Definicija.
2. Važne koordinate brojevnog kruga.
3. Kako pronaći koordinate brojevnog kruga?
4. Tabela glavnih koordinata brojevnog kruga.
5. Primjeri rješavanja problema.

Definicija brojevnog kruga na koordinatnoj ravni

Postavimo brojčani krug u koordinatnu ravan tako da se centar kruga poklapa sa ishodištem koordinata, a njegov poluprečnik se uzima kao jedinični segment. Početna tačka brojevnog kruga A je poravnata sa tačkom (1;0).

Svaka tačka na brojevnoj kružnici ima svoje x i y koordinate u koordinatnoj ravni, i:
1) za $x > 0$, $y > 0$ - u prvoj četvrtini;
2) za $x 0$ - u drugom kvartalu;
3) za $x 4) za $x > 0$, $y
Za bilo koju tačku $M(x; y)$ na brojevnoj kružnici zadovoljene su sljedeće nejednakosti: $-1
Zapamtite jednadžbu brojevnog kruga: $x^2 + y^2 = 1$.

Za nas je važno da naučimo kako pronaći koordinate tačaka na brojevnom krugu prikazanom na slici.

Nađimo koordinate tačke $\frac(π)(4)$

Tačka $M(\frac(π)(4))$ je sredina prve četvrtine. Spustimo okomicu MR iz tačke M na pravu OA i razmotrimo trougao OMP Kako je luk AM polovina luka AB, onda je $∠MOP=45°$.
To znači da je trougao OMP jednakokraki pravougaoni trokut i $OP=MP$, tj. u tački M apscisa i ordinata su jednake: $x = y$.
Pošto koordinate tačke $M(x;y)$ zadovoljavaju jednačinu brojevnog kruga, onda da biste ih pronašli morate riješiti sistem jednačina:
$\begin (slučajevi) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (slučajevi)$
Nakon što smo riješili ovaj sistem, dobijamo: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
To znači da će koordinate tačke M koje odgovaraju broju $\frac(π)(4)$ biti $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Koordinate tačaka prikazanih na prethodnoj slici izračunavaju se na sličan način.

Koordinate tačaka na brojevnom krugu

Pogledajmo primjere

Primjer 1.
Pronađite koordinatu tačke na brojevnoj kružnici: $P(45\frac(π)(4))$.

Rješenje:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
To znači da broj $45\frac(π)(4)$ odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj $\frac(5π)(4)$. Gledajući vrijednost tačke $\frac(5π)(4)$ u tabeli, dobijamo: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Primjer 2.
Pronađite koordinatu tačke na brojevnoj kružnici: $P(-\frac(37π)(3))$.

Rješenje:

Jer brojevi $t$ i $t+2π*k$, gdje je k cijeli broj, odgovaraju istoj tački na brojevnoj kružnici tada:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
To znači da broj $-\frac(37π)(3)$ odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj $–\frac(π)(3)$, a broj –$\frac(π) (3)$ odgovara istoj tački kao i $\frac(5π)(3)$. Gledajući vrijednost tačke $\frac(5π)(3)$ u tabeli, dobijamo:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Primjer 3.
Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom $y =\frac(1)(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju?

Rješenje:
Prava linija $y =\frac(1)(2)$ seče brojevnu kružnicu u tačkama M i P. Tačka M odgovara broju $\frac(π)(6)$ (iz podataka tabele). To znači bilo koji broj u obliku: $\frac(π)(6)+2π*k$. Tačka P odgovara broju $\frac(5π)(6)$, a samim tim i bilo kojem broju oblika $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Dobili smo, kako se često kaže u takvim slučajevima, dvije serije vrijednosti:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ i $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Odgovor: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ i $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Primjer 4.
Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa apscisom $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju.

Rješenje:

Prava linija $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ seče brojevnu kružnicu u tačkama M i P. Nejednakost $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ odgovara do tačaka luka PM. Tačka M odgovara broju $3\frac(π)(4)$ (iz podataka iz tabele). To znači bilo koji broj oblika $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Tačka P odgovara broju $-\frac(3π)(4)$, a samim tim i bilo kojem broju oblika $-\frac(3π)(4) +2π*k$.

Tada dobijamo $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Odgovor: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Problemi koje treba riješiti samostalno

1) Pronađite koordinatu tačke na brojevnoj kružnici: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Pronađite koordinatu tačke na brojevnoj kružnici: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom $y = -\frac(1)(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju.
4) Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom $y ≥ -\frac(1)(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju.
5) Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa apscisom $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju.